Ovo web sjedište koristi tehnologiju "kolačića" (eng. cookie) da bi se korisnicima prikazao dinamičan i personaliziran sadržaj, te su oni nužni za ispravan rad. Ako nastavite pregledavati ove stranice, kolačići će biti korišteni u suradnji s vašim preglednikom Weba.
I Klasifikacija fiksnih točaka pomoću ε-okolina orbita Poznato pitanje koje je formulirao Lipman Bers glasi: „Da li je moguće čuti oblik bubnja?“ Jedna od interpretacija tog problema jest mogućnost prepoznavanja dinamičkog sustava na osnovu jedne njegove trajektorije. Pritom, skiciranjem trajektorije dinamičkog sustava iz neke točke z zapravo skiciramo ε-okolinu te trajektorije, gdje je ε veličina piksela. U ranijim radovima naše znanstvene grupe uočeno je da je promatranjem jedne trajektorije u okolini fiksne točke moguće očitati multiplicitet fiksne točke - što je veće zacrnjenje, veći je multiplicitet. Zacrnjenje je mjera A(ε) ε-okoline orbite iz z (duljina, površina, volumen). Cilj je iz A(ε) prepoznati dinamički sustav. Primijetimo da čitava fraktalna analiza orbita (box dimenzija, sadržaj Minkowskog) proizlazi iz promatranja funkcije A(ε). Napravljene su i generalizacije početnih rezultata u slučaju kad A(ε) ima razvoj u Chebyshevljevoj skali [Mardešić, Resman, Županović, JDE, 2012.]. U svojoj disertaciji, Maja Resman se bavi gornjim pitanjima za paraboličke difeomorfizme u kompleksnoj ravnini. Promatra kompleksificiranu funkciju A(ε) i pokazuje da je moguće prepoznati formalnu klasu difeomorfizma iz samo konačno mnogo članova asimptotskog razvoja funkcije ε→ A(ε), za fiksnu početnu točku z. Jasno je da za prepoznavanje analitičke klase nije dovoljno promatrati samo početak asimptotskog razvoja. Maja Resman pokazuje nadalje da za funkciju ε→ A(ε) ne postoji potpuni asimptotski razvoj. Naslućujemo da razlog nepostojanja razvoja leži u definiranju A(ε) pomoću diskretne orbite (u diskretnom vremenu), [Resman, DCDS 2013.; Resman, Nonlinearity 2014]. Predlažemo da se ta definicija popravi ulaganjem difeomorfizma u tok vektorskog polja, te korištenjem kontinuiranog vremena definira nova funkcija Ac(ε) (c označava kontinuirano) koja bi imala asimptotski razvoj. Iz tog razvoja bi se mogao prepoznati polazni sustav. II Klasifikacija singulariteta pomoću ε-okolina krivulja Postavljamo isto početno pitanje kao u I, ali za singularitete funkcija, pri tome mislimo na kritične točke funkcija više varijabli. Time ulazimo u teoriju singulariteta primjenjujući naše ideje na klasičnu Arnoldovu teoriju singulariteta. Promatramo oscilatorni integral s analitičkom faznom funkcijom f i amplitudom φ koja ima kompaktni nosač. Poznato je da asimptotski razvoj ovog integrala za velike τ ovisi o singularitetima faze f, koji mogu biti nedegenerirani ili degenerirani (ovisno da li je Hessian nula ili ne), a f može i ne imati singularitete. Definiramo geometrijski prikaz integrala krivuljom Γ parametarski zadanom realnim i imaginarnim dijelom integrala. Za nedegenerirane singularitete dobivamo poznati Fresnelov integral čiji geometrijski prikaz je klotoida, odnosno Cornuova ili Eulerova spirala. Pitanje koje si postavljamo je: Možemo li prepoznati tip singulariteta iz box dimenzije i sadržaja Minkowskog pripadne krivulje Γ? Za svaki tip singulariteta zna se i multiplicitet, poznat i kao Milnorov broj u kompleksnom slučaju. Ideja je prepoznati ga iz fraktalnih invarijanti krivulje.
Short description of the task performed by Croatian partner
Ovo web sjedište koristi tehnologiju "kolačića" (eng. cookie) da bi se korisnicima prikazao dinamičan i personaliziran sadržaj, te su oni nužni za ispravan rad. Ako nastavite pregledavati ove stranice, kolačići će biti korišteni u suradnji s vašim preglednikom Weba.
login
